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By Dr. Luis Nuno de Matos Pimentão, R. Carlos Relvas (auth.)

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13) definierte Mayersche Feld einfach als Extremalenfeld bezeichnet (vgl. 12». 1) dreimal stetig partiell differenzierbar, und sei y E C1 [to' t 1 ] eine Extremale des Grundproblems (*). •. (t )=0, ) 0 = o 1) .. , erfUllen, so heiBen die Punkte to und t konjugiert 1), falls - - 1) Mitunter bezeichnet man auch den Punkt (t,y(t» (t ,y(t » konjugiert. o 0 n+1 des lR als zu 44 to ft gilt, fUr t = t die Gleichung de t (h 1 (t), h 2 (t), ... 19) erfUllt. 19) hat im Punkt to eine isolierte Nullstelle.

3) maximieren, nennt man Losungsfunktionen (bzw. im Sinn der obigen Bemerkung Losungskurven, Losungspfade, optimale Pfade, optimale Trajektorienf) des Grundproblems (*). Bemerkung: Die Differenzierbarkeit von Fy nach t folgt unrnittelbar aus der Stetigkeit von Fund F. und den Randbedingungen, sie braucht nicht vorausge;etzt z~ werden. 3) Die Existenz der zweiten Ableitung y auf den Extremalen folgt jedoch nicht ohne weiteres. Ist Fy aber nach t differenzierbar, was aus den obigen Voraussetzungen unrnittelbar folgt, so existiert y(t) fUr aIle t mit F ..

LSngs einer Extremale y E C1 [t o ,t 1 ] ist der Ausdruck F. (y(t) ,y(t) ,t) - F. (y(t) ,y(t) ,t) YiYj YjYi konstant fur jedes Paar (i, j) E 12. 6) sofort sieht. 3) wird die Funktion Emit Werten E(t,y,z,w) = F(y,w,t) -F(y,z,t) bezeichnet. )·F. 1), S. 22. 1. h' J J[yJ ist ein eigentliches Maximum von J. 2) Vgl. 1. Yi 2 EM. 22) E(t,y,z,w) = -21 n I . J. )· 1. J 1. J e F. lj 0<6<1. 18) Satz: Ist y E c~ [to' t 1 ] eine Extremale des Grundproblems (*) und ist J[y] ein starkes relatives Maximum von J, dann gilt E(t,y(t),y(t),W) $0 (WeierstraBsche notwendige Bedingung).

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