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By Horst Knörrer, Claus-Günther Schmidt, Joachim Schwermer, Peter Slodowy (auth.)

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G(~) Tp. Dann ist G(~) eine zyklische Gruppe und wird von der Frobeniussubstitution ap erzeugt. e. p zerfällt in ein Produkt = Reziprozitätsgesetze 51 von cp (n) vielen verschiedenen Primidealen, wobei cp (n) der Körpergrad der Erweiterung Q( ~n)IO ist) sind dann dadurch charakterisiert, daß die Zerlegungsgruppen G(l:>) trivial sind, und damit auch die Frobeniussubstitution identisch Eins ist 26>. ) voll zerlegten Primzahlen p, p l n, sind also durch die Kongruenz p = 1 mod n bestimmt. Über die Einführung der Zerlegungsgruppen und damit zusammenhängender Begriffe in der Theorie der Galoisschen Körper hinaus zeichnet sich Hilberts Arbeit wesentlich dadurch aus, daß er auf der Grundlage seines durch Übergang zu allgemeinen Grundkörpern an Stelle des Körpers Q der rationalen Zahlen das Studium der Arithmetik algebraischer Zahlkörper im allgemeinen anstrebt.

Ein Homomorphismus von G(F/K) in die Gruppe der invertierbaren linearen Abbildungen des komplexen n-dimensionalen Vektorraums Ist lJ ein Primideal in K, das unverzweigt ist, und~ ein Primteiler von lJ in F, so gibt es eine durch ~ eindeutig bestimmte Substitution ain G(FIK), so daß cn. aa =aNP (mod ~) für alle a aus F gilt. Für einen anderen Primteiler ~' von lJ in Fist die zugehörige Substitution a' konjugiert zu a. Auf diese Weise ist lJ eine J. Schwermer 56 Konjugationsklasse C11 von Substitutionen in G(FI K) zugeordnet.

Die die Primzahlen von 2 bis 997 als Reste oder Nichtreste in Bezug auf 3 bis 503 enthält. Zur Erstellung einer solchen Tafel sind umfangreiche Rechnungen erforderlich. 10 cf. ). p 11 cf. F. Gauß: Commentatio prima (1825), [14], II, S. 65-92 (d. Übers. [15], S. 511-533) Commentatio secunda (1831), [14], II, S. 93-148 (d. Übers. [15], S. 534-586). 64 J. Schwermer 12 cf. (8], (11]. 13 cf. G. Eisenstein: (1844), (12], S.

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