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By Stasys Jukna

Prof. Dr. Stasys Jukna, Universität Frankfurt/litauische Akademie der Wissenschaften

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Nicht immer ist es im Induktionsschritt einfach, alleine von P{n) auf P ( n + 1) zu schliefJen. Betrachtet man den Induktionsschritt genauer, so sieht man, dass man eigentlich sogar die Giiltigkeit von P(0) A • • • A P{n) als Voraussetzung nutzen kann. h. es reicht, die Giiltigkeit von P(0) A P ( l ) A • • • A P{n) -^ P{n + 1) fiir alle n zu zeigen. Diese Variante nennt man verallgemeinerte Induktion. 2 Das Prinzip des »kleinsten Verbrechers« Es gibt auch eine andere Variante der Induktion, die oft leichter anzuwenden ist.

V = x. Nach Definition von Gn-\-i muss der Knoten x mindestens einen Nachbarn y e V haben. Nach Induktionsvoraussetzung muss es daher einen Weg von u nach y in Gn geben, der sich durch die Kante {x, y} zu einem Weg von u nach x (iiber y) erweitern lasst. Also ist der Graph Gn-\-i zusammenhangend. D Wo ist der Fehler? Sei Mn die Menge aller Graphen mit n Knoten, in denen jeder Knoten mit mindestens einem anderen Knoten benachbart ist. In dem obigen »Beweis« geht man davon aus, dass man jeden Graphen in M^+i aus mindestens einem Graphen in Mn auf die beschriebene Weise konstruieren kann.

Induktionsvoraussetzung: Es gilt 1 + f < H2n < n-\-1 fiir ein festgelegtes n. Unter Anwendung der Induktionsvoraussetzung folgt >l+f 2^ Zahlen rr . •• ' 2^+1 ' ifo^+i = 1 + -2 + ... 3 Zur Erinnerung: p G N ist eine Primzahl genau dann, wenn p > 2 gilt und p nur durch 1 und p teilbar ist. Achtung: 1 ist also keine Primzahl! 4 Induktion: Beweis von Vx P{x) 39 Die letzte Summe besteht aus 2'^ Zahlen und die kleinste davon ist ^^. Somit tragt diese Summe mindestens 2'^ • ^^ = ^ bei, was die erwiinschte Ungleichung ^ n 1 ^ n-\-1 ergibt.

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