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By Prof. Dr. rer. nat. Gisela Engeln-Müllges, Prof. Dr. rer. nat. Klaus Niederdrenk, Stud. Prof. Dr. rer. nat. Reinhard Wodicka (auth.)

Das Buch ist eine praxisnahe Einfuhrung in die Numerische Mathematik zu grundlegenden Aufgabengebieten wie lineare und nichtlineare Gleichungen und Systeme, Eigenwerte von Matrizen, Approximation, Interpolation, Splines, Quadratur und Kubatur. Die Autoren beschreiben die mathematischen und numerischen Prinzipien wichtiger Verfahren und stellen leistungsfahige Algorithmen fur deren Durchfuhrung dar. Zahlreiche Beispiele und erlauternde Skizzen erleichtern das Verstandnis. Fur jeden Problemkreis werden Entscheidungshilfen fur die Auswahl des geeigneten Verfahrens angegeben. Zu allen Verfahren wurden Programme in C entwickelt, die auf einer CD-ROM beigefugt sind. Eine zweite CD-ROM enthalt Spline-Funktionen als Demo-Version aus der interaktiven Lernumgebung NUMAS.

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Y = x2 − 1 .... r ....... .. −2 ...... . ....... . ..... .. .. .. .. .. .. ... ... ... ... ... ... ... −3 ... ... ... ... y = x ... −4 ... Abb. 9. 5] Zur Bestimmung der L¨ osung ξ1 = 1 ist die Umformung (III) ungeeignet. W¨ahlt man n¨ amlich z. B. 11 verletzt ist. 4 Fehlerabsch¨ atzungen und Rechnungsfehler Die nach ν Iterationsschritten erzeugte N¨ aherungsl¨osung x(ν) unterscheidet sich von (ν) := x(ν) − ξ unter der Annahme, dass keine der exakten L¨ osung ξ um den Fehler ∆ Rechnungsfehler gemacht wurden.

3 lassen sich Einschlussverfahren auch zur Berechnung von mehrfachen Nullstellen einsetzen, insbesondere auch von Nullstellen gerader Ordnung (also ohne Vorzeichenwechsel). 3. Ist ξ ∈ I eine j-fache Nullstelle von f , j ≥ 2, und ist f (j+1)-mal stetig differenzierbar, so ist ξ eine einfache Nullstelle von g mit g(x) = f (x) . f (x) 30 2. L¨ osung nichtlinearer Gleichungen Beweis. 2 gelten f¨ ur j ≥ 2 f (ξ) = f (ξ) = . . = f (j−1) (ξ) = 0 und (j) f (ξ) = 0. 2 gelten g(ξ) = 0 und g (ξ) = 0 . 3 Verwendung).

8; [UBER1995], 2; [WERN1993], I §6. 1) falls f (ξ) = 0 ist. 1) algebraisch, und die nat¨ urliche Zahl n heißt der Grad des Polynoms bzw. der algebraischen Gleichung. 1), die nicht algebraisch ist, heißt transzendent (z. B. ln x − 1/x = 0; x − sin x = 0). In diesem Kapitel werden Verfahren zur Bestimmung einfacher und mehrfacher Nullstellen ξ ∈ I von f vorgestellt. Dabei wird zwischen den klassischen Iterationsverfahren (allgemeines Iterationsverfahren, Newton-Verfahren, Sekantenverfahren) und den sogenannten Einschlussverfahren (Bisektion, Pegasus-Verfahren, Verfahren von Anderson-Bj¨orck, Verfahren von King) unterschieden.

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